EJERCICIOS RESUELTOS

VÍDEOS

 vídeos que muestran el desarrollo y explicación de algunos ejercicios de ecuaciones lineales con una incógnita.



DINAMICAS

Te ofrecemos la opotunidad de que pruebes tus conocimientos en un juego o test dando link en el siguiente enlace :

" TEST INTERACTIVO !!! "

EJERCICIOS

A continuación algunos ejemplos de ecuaciones lineales con una incognita:

1.

2.

Resolución de problemas mediante ecuaciones

Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).

Veamos un problema característico:

Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?

Digamos que las edades de los tres son:

x edad de Pedro
y edad de Álvaro
z edad de María

Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro):

y = x + 3

También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María):

z = x – 7

Ahora tenemos que:
edad de Pedro: x
edad de Álvaro: x +3
edad de María: x – 7
La suma de las tres edades es 38:

x + x +3 + x – 7 = 38

Resolviendo está última ecuación tendremos:
x = 14 (esta es la edad de Pedro)

Finalmente:
edad de Pedro: x = 14 años
edad de Álvaro: x + 3 = 17 años
edad de María: x – 7 = 7 años



EJERCICIOS INTERACTIVOS

DANDO LINK EN LOS SIGUIENTES ENLACES PODRÁN ACCEDER A EXCELENTES EXPLICACIONES LÚDICAS ACERCA DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS :

 

 

 

< SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES >

 

 

 

 

"SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS"

 

 

 

 

---- SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ----

 

 

 



 

 

 

PARA EVALUAR EL CONOCIMIENTO ADQUIRIDO TE DEJAMOS ALGUNOS ENLACES PARA QUE PRUEBES QUE TANTO SABES :

 

 

EJERCICIOS

 

 

 

RECTAS




>> PROBLEMAS CON ECUACIONES <<

TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R.

Dependiendo del posible numero de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en:

 

 

 

Sistemas con dos incognitas

Los sistemas mas sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones.

Hay varios sistemas para resolverlos, los mas habituales son:
 

* Reducción

* Igualación

* Sustitucion
 

Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geometricamente como una recta, el estudio

de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano.

Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el

sistema:

x+2y = −3

2x + y = 1

Por reducción:

2x+4y=-6

 -2x+ y=1  

       5y=-5

de donde y = -1 y sustituyendo x + (-1) = -3, x=-1

Es decir, la solución del sistema es única,  x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1)

Resolver e interpretar el sistema:
 

x +2y = −3

2x− 4y = 5

Por igualación:

 

x  = −3 − 2y

x  =   5+ 4y 

                                          −2                 de donde

 

 

−3 − 2y =  5+ 4y  = ⇒ 4y+6 = 5+4y = ⇒ 0y = −1 =⇒  0 =  −1

                       −2

lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas.

 

Resolver e interpretar el sistema:

x +2y = −3

3x+6y = −9

Por sustitucion :

como x=−2y−3  resulta 3(−2y−3) + 6y = −9,  es decir −6y − 9 + 6y = −9, por

tanto 0y = 0, 0 = 0.

Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.

 

Lo expresaremos así. Como x = −2y − 3, dando valores a  y s e obtiene x.

Así si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la solución como:

x = −2λ − 3

                            y = λ                 siendo λ ∈ R

 

y como λ puede ser cualquier numero real, hay infinitas soluciones.

Estos son los únicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incógnitas, y su interpretación geométrica.

 

 

 

 

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
 

Por ejemplo :

3x + 2y + 6z = 6  es una ecuación lineal con tres incógnitas.

 

Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.

Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representacion gráfica es un plano en el espacio.

 

Interceptos, pendiente y ecuación de la recta

 

Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:

y = mx + b

Donde m es la pendiente y la b es el intercepto en y.

El intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es donde la recta corta el eje de y.

 El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x. 

 

Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la ecuación y=3x+5.

Solucion: En este caso, la b es 5; quiere decir que el intercepto en y es (0, 5).

Ejemplo 2: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 4x

Solucion: En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).

 

Ejemplo 3:Buscar el intercepto en y de la ecuación 3y=9x+24

Solucion: ¡Ojo! El intercepto en y no es 24, hay que fijarse bien que la ecuación no esta en su forma y = mx + b, hay que despejar de la siguiente manera:

3y = 9x + 24
3       3       3 

y = 3x + 8    Ahora, esta en su forma y = mx + b. El intercepto en y es (0,8).
 
 

La Pendiente

 

La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta es usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x₁,y₁), (x₂,y₂), que están en una recta L, la inclinación o la pendiente ( m ) de la recta se determina mediante :

m =   y2  - y1 
        x₂ - x₁

La pendiente es la la razon de cambios de x y y. . Esta puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la pendiente esta indefinida.

......

....

Ejemplo1: Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)

m =    y₂ - y1    =   6 - 4   =  2    =  2
          x₂ - x₁          3 - 2       1                    

 

La pendiente es 2.

A veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos. Primero, hay que determinar la pendiente de la recta, y para hallar la ecuación, utilizamos la ecuación y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).

 

M =    y₂ - y1   =    9 - 5 =   4   =  -4 

x₂ - x₁         0 - 1     -1

La pendiente es -4. Ahora, hay que buscar el intercepto en y. En este caso, ya está dado por (0,9)

Si la pendiente es -4, y el intercepto (0,9) entonces la ecuación es:

y = -4x + 9

 
 

Intercepto de x

Para buscar el intercepto en x, se sustituye la y por 0 en la ecuación.

 

Ejemplo:                      y = 9x + 5                                    0  = 9x + 5
                                -9x  =  5

   -9x  =  5

    -9      -9

          x  =  -5/9

El intercepto en x es (-5/9, 0)

 

 

Forma punto - pendiente

Hay otra manera para buscar una ecuación lineal, cuando se conoce un punto y la pendiente, utilizando la fórmula punto - pendiente:

y - y₁  =  m (x -x₁)

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-7) y tiene pendiente de 8.

m= 8

y - y₁ = m (x - x₁)
y - (-7) = 8(x -3)     <Se sustituyó>

y + 7 = 8x - 24     <Propiedad distributiva> y = 8x - 24 -7     <Se resuelve dejandolo en y=mx+b> y = 8x - 31