Dependiendo del posible numero de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en:
Sistemas con dos incognitas
Los sistemas mas sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones.
Hay varios sistemas para resolverlos, los mas habituales son:
* Reducción
* Igualación
* Sustitucion
Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geometricamente como una recta, el estudio
de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano.
Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el
sistema:
x+2y = −3
2x + y = 1
Por reducción:
2x+4y=-6
-2x+ y=1
5y=-5
de donde y = -1 y sustituyendo x + (-1) = -3, x=-1
Es decir, la solución del sistema es única, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1)
Resolver e interpretar el sistema:
x +2y = −3
2x− 4y = 5
Por igualación:
x = −3 − 2y
x = 5+ 4y
−2 de donde
−3 − 2y = 5+ 4y = ⇒ 4y+6 = 5+4y = ⇒ 0y = −1 =⇒ 0 = −1
−2
lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas.
Resolver e interpretar el sistema:
x +2y = −3
3x+6y = −9
Por sustitucion :
como x=−2y−3 resulta 3(−2y−3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, por
como x=−2y−3 resulta 3(−2y−3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, por
tanto 0y = 0, 0 = 0.
Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.
Lo expresaremos así. Como x = −2y − 3, dando valores a y s e obtiene x.
Así si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la solución como:
x = −2λ − 3
y = λ siendo λ ∈ R
y como λ puede ser cualquier numero real, hay infinitas soluciones.
Estos son los únicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incógnitas, y su interpretación geométrica.
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