LA MATRIZ
Una matriz es un conjunto de
números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y
columnas.
Cada uno de los números de
que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se
distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a
la que pertenece.
Dimensión de una matriz
El número de filas y
columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una
matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número
de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...
El conjunto de matrices de m
filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y
un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y
en la columna j, por aij.
Matrices iguales
Dos matrices son iguales cuando
tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas,
son iguales.
Matriz
fila
Una matriz fila está
constituida por una sola fila.
Matriz
columna
La matriz columna tiene
una sola columna
Matriz
rectangular
La matriz rectangular tiene
distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz
cuadrada
La matriz cuadrada tiene
el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen
la diagonal principal.
La diagonal secundaria la
forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz
nula
En una matriz nula todos
los elementos son ceros.
Matriz
triangular superior
En una matriz
triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal
principal son ceros.
Matriz
triangular inferior
En una matriz
triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal
principal son ceros.
Matriz
diagonal
En una matriz diagonal todos
los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son
nulos.
Matriz
escalar
Una matriz escalar es
una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son
iguales.
Matriz
identidad o unidad
Una matriz identidad es
una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son
iguales a 1.
Matriz
traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz
traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las
filas por las columnas
Matriz
regular
Una matriz regular es
una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz
singular
Una matriz singular no
tiene matriz inversa.
Matriz
idempotente
Una matriz, A, es idempotente
si:
A2 = A.
Matriz
involutiva
Una matriz, A, es involutiva
si:
A2 = I.
Matriz
simétrica
Una matriz simétrica es
una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz
antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz
antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz
ortogonal
Una matriz es ortogonal si
verifica que:
A·At = I.
Operaciones
con matrices
Suma
de matrices
<!--[endif]-->
Dadas dos matrices de la
misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma
como: A+B=(aij+bij).
La matriz suma se obtienen
sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
Producto
de un escalar por una matriz
Dada una matriz A=(aij) y
un número real k
<!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->R,
se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo
orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
<!--[endif]-->R,
se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo
orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
kA=(k aij)
Producto
de matrices
Dos matrices A y B son
multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número
de filas de B.
Mm x n x Mn x p =
M m x p
El elemento cij de
la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila
i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz
B y sumándolos.
Matriz
inversa
El producto de una matriz
por su inversa es igual al matriz identidad.
A · A-1 = A-1 · A
= I
Cálculo
de la matriz inversa por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de
orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1,
seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz
del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la
matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3
arbitraria
La ampliamos con la matriz
identidad de orden 3.
2º Utilizando el método
Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que
ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la
matriz inversa: A-1.
F2 - F1
F3+F2
F2-F3
F1+F2
(-1) F2
La matriz inversa es:
Calculo de la matriz inversa por determinantes
Rango de una matriz
Rango de una matriz: es el
número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente
independientes.
Una línea es linealmente
dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación
lineal entre ellas.
Una línea es linealmente
independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una
combinación lineal entre ellas.
El rango de una matriz A se
simboliza: rang(A) o r(A).
También podemos decir que el
rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta
definición se puede calcular el rango usando determinantes.
Se puede calcular el rango
de una matriz por dos métodos:
Cálculo del rango de una
matriz por el método de Gauss
Podemos descartar una línea
si:
Todos sus coeficientes son
ceros.
Hay dos líneas iguales.
Una línea es proporcional a
otra.
Una línea es combinación
lineal de otras.
F3 = 2F1
F4 es nula
F5 = 2F2 + F1
r(A) = 2.
En general consiste en hacer
nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no
nulas.
F2 = F2 - 3F1
F3 = F3 - 2F1
Por tanto r(A) = 3.
No hay comentarios:
Publicar un comentario