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miércoles, 20 de marzo de 2013
viernes, 15 de marzo de 2013
TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R.
Sistemas con dos incognitas
Dependiendo del posible numero de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en:
Sistemas con dos incognitas
Los sistemas mas sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones.
Hay varios sistemas para resolverlos, los mas habituales son:
* Reducción
* Igualación
* Sustitucion
Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geometricamente como una recta, el estudio
de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano.
Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el
sistema:
x+2y = −3
2x + y = 1
Por reducción:
2x+4y=-6
-2x+ y=1
5y=-5
de donde y = -1 y sustituyendo x + (-1) = -3, x=-1
Es decir, la solución del sistema es única, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1)
Resolver e interpretar el sistema:
x +2y = −3
2x− 4y = 5
Por igualación:
x = −3 − 2y
x = 5+ 4y
−2 de donde
−3 − 2y = 5+ 4y = ⇒ 4y+6 = 5+4y = ⇒ 0y = −1 =⇒ 0 = −1
−2
lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas.
Resolver e interpretar el sistema:
x +2y = −3
3x+6y = −9
Por sustitucion :
como x=−2y−3 resulta 3(−2y−3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, por
como x=−2y−3 resulta 3(−2y−3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, por
tanto 0y = 0, 0 = 0.
Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.
Lo expresaremos así. Como x = −2y − 3, dando valores a y s e obtiene x.
Así si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la solución como:
x = −2λ − 3
y = λ siendo λ ∈ R
y como λ puede ser cualquier numero real, hay infinitas soluciones.
Estos son los únicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incógnitas, y su interpretación geométrica.
miércoles, 6 de marzo de 2013
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Por ejemplo :
3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.
Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.
Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representacion gráfica es un plano en el espacio.
Interceptos, pendiente y ecuación de la
recta
Las ecuaciones lineales son siempre de la
forma:
y = mx +
b
Donde m es la pendiente y la b
es el intercepto en y.
El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x.
El intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es
donde la recta corta el eje de y.
El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x.
Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la
ecuación y=3x+5.
Solucion: En este caso, la b es 5; quiere decir
que el intercepto en y es (0, 5).
Ejemplo 2: Buscar el intercepto en y de la
ecuación y = 4x
Solucion: En este caso, la b no está presente en
la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a y = 4x + 0. Por lo tanto, el
intercepto en y es (0, 0).
Ejemplo 3:Buscar el intercepto en y de la
ecuación 3y=9x+24
Solucion: ¡Ojo! El intercepto en y no es 24, hay
que fijarse bien que la ecuación no esta en su forma y = mx + b, hay que
despejar de la siguiente manera:
3y = 9x + 24
3 3 3
3 3 3
y = 3x + 8 Ahora, esta en su forma y = mx
+ b. El intercepto en y es (0,8).
La Pendiente
La pendiente es la inclinación de una recta. Una
forma de calcular la pendiente de una recta es usando la siguiente fórmula. Dado
dos puntos (x1,y1), (x2,y2), que
están en una recta L, la inclinación o la pendiente ( m ) de la recta se determina
mediante
:
......
.... 
m = y2 -
y1
x2 - x1
x2 - x1
La pendiente es la la razon de cambios de x y
y. . Esta puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la
pendiente esta indefinida.
...... ....
Ejemplo1: Buscar la pendiente de los puntos (2,4)
y (3,6)
m = y2 -
y1 = 6 - 4 = 2 = 2
x2 - x1 3 - 2 1
x2 - x1 3 - 2 1
La pendiente es 2.
A veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la
ecuación de la recta que pasa por estos puntos. Primero, hay que determinar la
pendiente de la recta, y para hallar la ecuación, utilizamos la ecuación y = mx
+ b donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.
Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa
por los puntos (1,5) y (0,9).
M = y2 -
y1 = 9 - 5 = 4 = -4
x2 - x1 0 - 1
-1
La pendiente es -4. Ahora, hay que buscar el
intercepto en y. En este caso, ya está dado por (0,9)
Si la pendiente es -4, y el intercepto (0,9)
entonces la ecuación es:
y = -4x + 9
Intercepto de x
Para buscar el intercepto en x, se sustituye la
y por 0 en la ecuación.
Ejemplo: y = 9x + 5 0 = 9x + 5
-9x = 5
-9x = 5
-9x =
5
-9
-9
x = -5/9
El intercepto en x es (-5/9, 0)
Forma punto - pendiente
Hay otra manera para buscar una ecuación lineal,
cuando se conoce un punto y la pendiente, utilizando la fórmula punto -
pendiente:
y - y1 = m (x -x1)
Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa
por el punto (3,-7) y tiene pendiente de 8.
m= 8
y - y1 = m (x - x1)
y - (-7) = 8(x -3) <Se sustituyó>
y - (-7) = 8(x -3) <Se sustituyó>
y + 7 = 8x - 24 <Propiedad
distributiva> y = 8x - 24 -7 <Se
resuelve dejandolo en y=mx+b> y =
8x - 31
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